Matematyka i Web Design: liczby Fibonacci'ego

Zrozumienie czym jest ciąg Fibonacci'ego wymaga od nas "cofnięcia się" do czasów kursu matematyki w szkole średniej (na pierwszym roku studiów?). To oczywiście żart, zakładam bowiem, że teoria ciągów nie jest nikomu obca.

Ciąg Fibonacci'ego to ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący:

Rys. definicja ciągu Fibonacci'ego

Innymi słowy, ciąg składa się z elementów (dla n>1) których wartość jest sumą dwóch poprzednich składników. Pierwszych piętnaście wartości ciągu to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377.

Ciąg zawdzięcza swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynną księgę Liber Abaci. Ojciec Leonarda nosił przydomek Bonacci, stąd syn został Fibonaccim (filius Bonacci - syn dobrotliwego).

Ciąg Fibonacciego wiąże się z takimi koncepcjami matematycznymi jak:

• Złoty podział odcinka stworzony po raz pierwszy przez Euklidesa
• Złoty podział prostokąta(złoty prostokąt)
• Złoty kąt
• Złota spirala i spirala fibonacciego
• Elipsa logarytmiczna

Koncepcja złotego podziału popularna już w starożytności znacznie wyprzedziła czasy Fibonacciego. Nie zmienia to jednak faktu, iż w wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół 1,618 - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złotą liczbą:

$\Phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\mathrm{1,6180339887498948482...}$

Za średniowiecznym włoskim matematykiem Lucą Pacioli przyjęto, że będąca miarą złotego podziału liczba Φ przybliżana jest z dokładnością do trzech miejsc po przecinku . Stąd też w opracowaniach często podaje się, że Φ=1,618.

$Liczba$Φ posiada wiele ciekawych własności matematycznych, na przykład:

$\Phi =1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{...}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}}}=\mathrm{1,6180339887498948482...}$

Złoty prostokąt to prostokąt którego krawędzie pozostają w złotym stosunku. Okazuje się, że po dorysowaniu doń kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt. Stąd stosunek długości boków wyraża się zależnością:

$\Phi =\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\mathrm{1,6180339887498948482...}$

Odpowiednio w drugą stronę, odcinając od złotego prostokąta kwadrat o boku równym krótszemu bokowi prostokąta otrzymuje się prostokąt, którego boki nadal pozostają w złotym stosunku.
Powtarzając te czynności otrzymuje się kolejne coraz większe lub coraz mniejsze złote prostokąty.

Rys. Złoty prostokąt (źródło: wikipedia.org)

Złotym kątem jest kąt środkowy oparty na mniejszym z dwóch łuków powstałych w wyniku złotego podziału okręgu ( w przybliżeniu jest to 137,5 stopnia). Iloraz miary tego kąta i jego dopełnienia do kąta pełnego jest równy złotej liczbie (stąd nazwa). Jeśli jako a oznaczymy łuk na którym oparty jest złoty kąt, jako b jego dopełnienie do 360 stopni, zaś jako c obwód okręgu, to otrzymamy zależność:

$\Phi =\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\mathrm{1,6180339887498948482...}$

Rys. Złoty kąt (źródło: wikipedia.org)

Złoty kąt pełni ważna rolę w teorii ulistnienia jako kąt dywergencji (kąt, jaki tworzą między sobą promienie biegnące od osi łodygi do 2 kolejno tworzonych liści). Bracia Bravais badając rośliny zauważyli, że najczęściej występującym kątem dywergencji jest złoty kąt.

Złota spirala i spirala fibonacciego są spiralami których proporcje są oparte o proporcje serii złotych prostokątów. Spirale konstruujemy wrysowując je w kwadraty o długościach boków proporcjonalnych do wartości kolejnych liczb ciągu. Złota spirala jest właściwie serią ćwierć okręgów wpisanych w kwadraty. które z kolei zostały wpisane w złote prostokąty jak widać to na poniższym rysunku

Rys. Złota spirala

Obie spirale zbliżone są proporcjami, jednakże złota spirala jest spiralą logarytmiczną, zaś spirala fibonacciego nie. Kształty spiralne zbliżone do wymienionych spotykane są niezwykle często w przyrodzie. Wymienić tu można:

• kształt muszli ślimaka
• kształt ramion galaktyk, w tym drogi mlecznej
• kształt wirów huraganów i tornad

Złota elipsa to elipsa której osie pozostają w złotej proporcji. Nikogo zapewne nie zdziwi, iż jest ona uważana za najbardziej proporcjonalną figurę tego typu i także posiada wiele ciekawych właściwości geometrycznych.

Liczby Fibonacciego pojawiają się w tak wielu sytuacjach i zjawiskach, że wydaje się to zupełnie nieprawdopodobne. Ciąg fibonacciego opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastających w kolejnych latach. W słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzących ze środka. Liczba linii rozwijających się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi 55 natomiast 34 skręconych w przeciwną stronę. Takie same spirale można zaobserwować na wielu innych roślinach ( np. kalafior, ananas). Liczby spiral występujących w tych roślinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego.

Liczby Fibonacciego były i są stosowane w wielu aspektach działalności i twórczości człowieka. W XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Na ciągu Fibonacciego zbudowane jest między innymi Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera. Złote proporcje wywodzące się z ciągu Fibonacciego wykorzystano w starożytności podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie oraz Partenonu w Grecji.
Wartości oraz proporcje wywodzące się z ciągu Fibonacciego wykorzystuje się współcześnie w wielu dziedzinach związanych z projektowaniem. Web Design jest dziedziną gdzie również warto rozważyć ich stosowanie. W jednym z moich poprzednich artykułów pisałam o złotym podziale w projektowaniu stron internetowych. Ale też pozostałe opisane konstrukty matematyczne wykorzystać możemy projektując grafikę stron internetowych.

Z uwagi na swoje cechy w tym przypisywaną im "naturalność" złoty podział, złoty prostokąt oraz złota spirala znajdują swoje szerokie zastosowanie w dziedzinie niezwykle bliskiej projektowaniu stron www, a mianowicie w fotografii, gdzie należą do kanonu komponowania zdjęć.

Dzieje się tak, ponieważ umysł ludzki postrzega proporcje opisane liczbami Fibonacciego jako wyjątkowo eleganckie i klasyczne. Projektant jest w gruncie rzeczy ograniczony jedynie własną kreatywnością jeśli chodzi o wykorzystanie zasad klasycznych proporcji. Najczęściej wartości wynikające ze stosunku kolejnych liczb Fibonacciego stosuje się do obliczania rozmiaru poszczególnych bloków strony. Nie chodzi tutaj o to, aby rozmiary bloków strony były dokładnie równe kolejnym liczbom z ciągu Fibonacciego, możemy zastosować odpowiedni przelicznik. Tak czy inaczej bowiem uzyskamy w ten sposób odpowiednie proporcje elementów.

Dla przykładu w wielu swoich projektach korzystam z proporcji wyliczonych z ciągu fibonacciego budując elementy siatki na której opieram kompozycję całej witryny.

Trzeba przy tym pamiętać, iż opieranie proporcji elementów strony o proporcje złotych prostokątów czy podobne konstrukcje wiąże się z pewną umownością. O ile strony internetowe ze swojej natury posiadają określoną szerokość, o tyle długość strony jest zwykle płynna i dostosowuje się do rozmiarów zawartości (na przykład ilości tekstu). Możemy jedynie zadbać, aby proporcje elementów widocznych w danej chwili na ekranie były odpowiednio zestawione.

Ciąg dalszy nastąpi...